Le jeu de pile ou face précédent présente sous une version simplifiée le problème proposé par le mathématicien Nicolas Bernouilli en 1713 (en photo ci-contre) [1].
- Comme la plupart des gens, pour jouer à ce jeu de lancers, vous êtes sans doute prêt à jouer une somme relativement modeste, quelques euros tout au plus !
- Vous avez en effet une chance sur deux d’obtenir « face » dès le premier tour (et donc de gagner deux euros), une chance sur 4 que face n’apparaisse qu’au second tour (et là vous gagneriez 4 euros), une chance sur 8 que face n’apparaisse qu’au troisième tour (avec un gain cette fois de 8 euros), etc.
- Potentiellement vous pouvez gagner une somme rondelette (16 euros ou même davantage) mais si face apparaît dès le premier tour, nous ne gagnez que deux euros !
Où est donc le paradoxe ?
- Le paradoxe tient au fait que lorsque vous calculez l’espérance de gain de ce jeu, (égale à la somme des gains espérés pour chaque lancer [2]), celle-ci tend mathématiquement vers l’infini.
- Cela signifie tout simplement, que sur la base du calcul de l’espérance de gain, vous devriez être prêt à jouer toute votre fortune sur ce jeu de pièce de monnaie, ce qui n’est évidement pas votre cas !!
Le paradoxe révèle donc que le critère d’espérance de gain n’est pas le bon pour évaluer les choix des individus !
Pour représenter la prise de décision, il faut prendre en compte l’aversion au risque des individus et maximiser une fonction qui correspond à l’espérance d’utilité des gains [3]. C’est le critère retenu dans l’approche économique standard de la décision risquée.
[1] Problème auquel son cousin Daniel Bernouilli proposera une solution en 1738 dans un article publié par l’académie des sciences de Saint-Pétersbourg. D’où le nom que porte le célèbre paradoxe..
[2] 2 x 1/2 + 4 x 1/4 + 8 x 1/8 + 16 x 1/16 + 32 x 1/32 …. = 1 + 1 + 1 + 1 + …. = infini
[3] Et non simplement une fonction qui maximise l’espérance de gains.