Le paradoxe de Bernouilli

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Le jeu de pile ou face précédent présente sous une version simplifiée le problème proposé par le mathématicien Nicolas Bernouilli en 1713 (en photo ci-contre) [1].

  • Comme la plupart des gens, pour jouer à ce jeu de lancers, vous êtes sans doute prêt à jouer une somme relativement modeste, quelques euros tout au plus !
  • Vous avez en effet une chance sur deux d’obtenir « face » dès le premier tour (et donc de gagner deux euros), une chance sur 4 que face n’apparaisse qu’au second tour (et là vous gagneriez 4 euros), une chance sur 8 que face n’apparaisse qu’au troisième tour (avec un gain cette fois de 8 euros), etc.
  • Potentiellement vous pouvez gagner une somme rondelette (16 euros ou même davantage) mais si face apparaît dès le premier tour, nous ne gagnez que deux euros !

Où est donc le paradoxe ?

  • Le paradoxe tient au fait que lorsque vous calculez l’espérance de gain de ce jeu, (égale à la somme des gains espérés pour chaque lancer [2]), celle-ci tend mathématiquement vers l’infini.
  • Cela signifie tout simplement, que sur la base du calcul de l’espérance de gain, vous devriez être prêt à jouer toute votre fortune sur ce jeu de pièce de monnaie, ce qui n’est évidement pas votre cas !!
  • Le paradoxe révèle donc que le critère d’espérance de gain n’est pas le bon pour évaluer les choix des individus !

Pour représenter la prise de décision, il faut prendre en compte l’aversion au risque des individus et maximiser une fonction qui correspond à l’espérance d’utilité des gains [3]. C’est le critère retenu dans l’approche économique standard de la décision risquée.

[1] Problème auquel son cousin Daniel Bernouilli proposera une solution en 1738 dans un article publié par l’académie des sciences de Saint-Pétersbourg. D’où le nom que porte le célèbre paradoxe..

[2] 2 x 1/2 + 4 x 1/4 + 8 x 1/8 + 16 x 1/16 + 32 x 1/32 …. = 1 + 1 + 1 + 1 + …. = infini

[3] Et non simplement une fonction qui maximise l’espérance de gains.