Le paradoxe de Bernouilli

Le jeu précédent présente sous une version simplifiée le problème proposé par le mathématicien Nicolas Bernouilli en 1713 (en photo ci-contre) [1].

  • Pour jouer à ce jeu de lancers, vous êtes sans doute prêt à jouer une somme relativement modeste, quelques euros tout au plus !
  • Vous avez en effet une chance sur deux d’obtenir "face" dès le premier tour (et donc de gagner deux euros seulement), une chance sur 4 que face apparaisse au second (et là vous gagneriez 4 euros), une chance sur 8 que face n’apparaisse qu’au troisième tour (avec un gain cette fois de 8 euros), etc.

Où est donc le paradoxe ?

  • Le paradoxe tient au fait que lorsque vous calculez l’espérance de gain de ce jeu, (égale à la somme des gains espérés pour chaque lancer [2]), celle-ci tend vers l’infini.
  • Cela signifie tout simplement, que sur la base du calcul de l’espérance de gain, vous devriez être prêt à jouer toute votre fortune sur ce jeu de pièce de monnaie, ce qui n’est évidement pas votre cas !!
  • Le paradoxe révèle donc que le critère d’espérance de gain n’est pas le bon pour évaluer les choix des individus !

Il faut prendre en compte leur aversion au risque et maximiser une fonction via l’espérance d’utilité des gains. C’est le critère retenu dans l’approche standard en économie de la décision risquée.


[1] Problème auquel son cousin Daniel Bernouilli proposera une solution en 1738 dans un article publié par l’académie des sciences de Saint-Petersbourg. D’où le nom du célèbre paradoxe...

[2] 2 x 1/2 + 4 x 1/4 + 8 x 1/8 + 16 x 1/16 +.... = 1 + 1 + 1 + 1 + .... = infini

Le paradoxe de Saint Petersbourg